いきなりタイトルの問題を解こうとするとちょっと面倒なので、ちょっと問題の規模を小さくします。「4人の人間が2つの部屋に入る組合せは何通りか？」を考えます。ここでは、人間には区別があり、部屋には区別がないとします。
こういった組合せの問題を解くときに重要なのは2つあります。1つは「全て区別する時は何通りか？」をまず考えること、そして2つめは、「どういった場合が同じ組合せか？」を考えることです。簡単なほうの問題では、「全て区別するときは4! （4の階乗）」です。これは、部屋の存在を考えずに、単純に順列として考えたときの並び方と同じです。
次に、どういった場合に同じ組合せとみなすかを考えます。この問題では、部屋には区別がないということなので、上の図と下の図は同じとみなせます。さらに、それぞれの部屋の中で場所が変化しても同じとみなせます*1。他の組合せの場合でも、同様にして必ず同じみなせる組合せが存在します。というわけで、この問題では「ある組合せに対して同じとみなせる組合せの数は2*2*2=8通り」です。
ここまで来たらほぼ解けたようなものです。問題の答えは、（全て区別するときの組合せ数）÷（同じとみなす組合せ数）なので、4!÷8 = 24÷8 = 3通り が正解です*2。さて、これまでのことを応用して「9人の人間が3つの部屋に入る組合せ」を考えてみましょう。ここでは、人間に区別があり、部屋に区別があるとします。全て区別するときの組合せ数は、9! （9の階乗）です。次に、どういった場合に同じとみなせるかというと、「部屋の中での位置が変わったとき」なので、その場合について考えます。それぞれの部屋で3人が入れ替わるので、3! * 3! * 3! = 216通りになります。で、最終的な組合せは 9! ÷ （3! * 3! * 3!） = 1680通りになります。
もし、この問題で部屋の区別がない場合は、さらに 3! で割って280通りになります。
コメントする